三角函数学习笔记

三角函数是九年级下学期的一个重难点，感觉挺好玩，故来学习。

如图，在一个直角三角形 $\triangle ABC$ 中，若 $\angle B=90^\circ$，则 $AB$ 为对边，$BC$ 为邻边，$AC$ 为斜边。换句话说，斜边是最长边，对边是一个角所对应的边，邻边就是除对边以外的直角边。图中的 $c$ 为对边，$a$ 为邻边，$b$ 为斜边. 三角函数则是这几条边的比例关系。

正弦

定义

在直角三角形中，我们把锐角 $\theta$ 的对边与斜边的比叫做 $\angle\theta$ 的正弦，记作 $\sin \theta$，即

$$\sin\theta=\frac{\angle\theta 的对边}{斜边}$$

当然，$\sin$ 的角参数 $\theta$ 只要知道了，它的边参数不管怎么样，都是满足这个比值的。

证明

设锐角 $A$ 取一个固定值，我们有许多直角三角形 $A_1B_1C_1,A_2B_2C_2,A_3B_3C_3,\cdot\cdot\cdot$，它们的 $A_i$ 全部相等，把这些角重合在一起，记作 $A$，并使直角边 $AC_1,AC_2,AC_3,\cdot\cdot\cdot$ 落在同一条直线上，使斜边 $AB_1,AB_2,AB_3,\cdot\cdot\cdot$ 落在同一条直线上，那么

$$B_1C_1\parallel B_2C_2\parallel B_3C_3\parallel \cdot\cdot\cdot\\ \therefore \triangle AB_1C_1\sim\triangle AB_2C_2\sim\cdot\cdot\cdot\\\therefore \frac{B_1C_1}{AB_1}=\frac{B_2C_2}{AB_2}=\frac{B_3C_3}{AB_3}=\cdot\cdot\cdot$$

得证。

正弦的反函数

$\sin^{-1}$ 表示的是 $\sin$ 的反函数，即如果 $\sin\theta=x$，则 $\sin^{-1}x=\theta$，所以当你使用 $\sin^{-1}$ 时，根据 $\sin$ 的定义，在实数范围内，你的 $x$ 要在 $[-1,1]$ 才有意义。

正弦的特殊值

$$\theta=0^\circ,\sin\theta=0\\ \theta=30^\circ,\sin\theta=\frac{1}{2}\\ \theta=45^\circ,\sin\theta=\frac{\sqrt 2}{2}\\ \theta=60^\circ,\sin\theta=\frac{\sqrt 3}{2}\\ \theta=90^\circ,\sin\theta=1$$

正弦定理

在任意 $\triangle ABC$ 中，边 $a,b,c$ 对应角 $A,B,C$，这个三角形的外接圆半径是 $R$。则：

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

证明

如图，做 $\triangle ABC$ 的外接圆，圆心为 $O$，半径为 $R$。 做直径 $BD$ 过点 $B$，连接 $DC$。 此时显然 $\angle BCD=90^\circ,\angle BDC=\angle BAC=\angle A$。 所以在 $\triangle ABC$ 中：

$$\sin A=\sin\angle BDC=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{BD}=\frac{a}{2R}\\ \frac{a}{\sin A}=2R$$

过其他点作直径同样可以得到：

$$\frac{b}{\sin B}=2R,\frac{c}{\sin C}=2R$$

正弦的诱导公式

$$\sin (-\theta)=-\sin\theta\\ \sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta\\ \sin(180^\circ+\theta)=-\sin\theta\\ \sin(360^\circ-\theta)=-\sin\theta\\ \sin(360^\circ+\theta)=\sin\theta$$

正弦的函数

它的函数图像是个波浪线： 对于 $y=\sin x$ 这一个函数，$y$ 的阈值是 $y\in[-1,1]$，这也解释了为什么 $\sin^{-1}x$ 中 $x\in[-1,1]$。 $y$ 有多个最大值和最小值，准确表示，最大值是当 $x=2\pi k+\frac{\pi}{2},k\in \mathbb{Z}$，即 $k$ 为一整数，这时 $y=1$；最小值是当 $x=2\pi k+\frac{3\pi}{2},k\in\mathbb{Z}$，$y=-1$。函数的拐点是当 $x=\pi k,k\in\mathbb{Z}$ 时，$y=0$。 显然，这个函数的周期是 $2\pi$。

它是一个波浪线的原因就是刚刚的诱导公式，因为 $\sin(360^\circ+\theta)=\sin\theta$，所以每过 $360^\circ$ 就是一个周期。